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自由掲示板 CSOユーザーの自由掲示板

解析学について

投稿者名:東京都檜原村在住

ファミリー名:

観覧数:176

日付:2016/11/29 12:18

ε-δ論法がうんちなので代数学に逃げました(半ギレ)

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投稿者名:kesuya

ファミリー名:東方Project匇

日付:2016/11/29 16:59

在住学なら知ってるぜ!
残りの都道府県の数がユーモアを表しているんだろ?

投稿者名:STAR41てww

ファミリー名:東方音楽好きの会

日付:2016/11/29 13:08

ε-δ論法 その1「極限」

大学に入って数学を学ぶ上でまずつまずくのが、この「ε-δ論法」だと言われています。見たことのない方もおられるでしょうがこれは「イプシロンデルタろんぽう」と読みます。これは数学で「無限」を扱う時には欠かすことが出来ない考え方です。僕が初めてこの「ε-δ論法」に出会ったときは雷に打たれたような衝撃を覚えました(え?大袈裟ですか(笑))。数学が苦手だと言う方には難しそうに見えますが、そんなに難しい考え方ではありません。少し簡単にお話しますので、この「ε-δ論法」の素晴らしさを感じ取っていただけると幸いです。

さて、高校の数学で「連続関数」(本当は「関数」ではなくて「函数」なのですが高校では「関数」を使っているのでそうします)という言葉が出てきますがなぜ「連続関数」なのか皆さんはご存知でしょうか?
え?連続な関数だから?正解です。
では、「連続」とは?途切れずに繋がっていること?それでは正解とはいえません。
数学において「途切れず」とか「繋がっている」とかの曖昧な表現は許されないからです。実はこの「連続」も「ε-δ論法」できちんと定義が出来るのです(他で詳しく説明します)。

それでは今回は同じく高校で出てきた「極限」についてです。

(1)数列{an}(nは自然数)について、nが限りなく大きくなるときにanが1に限りなく近づくならばanは1に収束すると言い、また1はanの極限と言う。

これを式で書くと

「n→∞のときan→1」

となります(もしくはlimを使う)。まず「数列」とはここでは字の通り「数の列」と思っていただいて結構です。「自然数」とは「1,2,3,……」のことです。ですから数列{an}とは数の列a1、a2、a3……ということです。
この列が1に限りなく近づくということなので一例を挙げると

0.9、0.99、0.999、0.9999、……

という数列になります。だんだんと1に近づいていってるのはわかりますね。ここでa1=0.9、a2=0.99、a3=0.999、a4=0.9999ということです。

さあここで問題になるのが「限りなく近づく」という表現です。曖昧ですね。限りなく近づくわけですから当然そこに到達は絶対にしません。上の数列{an} も1に限りなく近づくだけで1にはならないのです。ここが「無限」を扱う上で困ることなのです。何せ我々人間は「無限」を把握することが出来ないからです。「有限」の存在の私たちが「無限」をどう扱っていけばよいのでしょうか?そこで登場するのが「ε-δ論法」の考え方なのです。

具体的にはどうするのか?聞いたら「何だ、そんな事か」と思うかもしれません。
実は「無限」が扱えないなら「有限」で扱えばいいということなのです。ここで(1)を正確に定義します。

(2)∀ε>0, ∃N>0 s.t. ∀n≧N, |an -1|<ε

となります。意味不明の記号がたくさん出てきましたね。説明します。
∀は「任意の」という意味です。∃は「存在する」、s.t. (=such that)は「~となるような」という意味ですが簡単に「に対して」と読んでもいいでしょう。||は絶対値です。簡単に言えば「大きさ」です。ここでは単に「+、-の記号を取る」と思ってください。これを踏まえて(2)を簡単に言いますと

(3)勝手な正の数εを一つ取ってくる。そのεに対してNという自然数が(必ず)存在してNより大きいan は|an -1|<εを満たす

と言うことです。ここで

「|an -1|<εを満たす」

とは

「an -1の大きさがεより小さい」

と言う事です。わかりづらいので例を示します。上にも挙げた例で0.9,0.99,0.999,……という数列を考えます。ここで勝手な正の数εを0.0001ととります。そしてNを4とします(理由は計算すればわかります)。
すると、a4=0.9999なのでそれより以降の例えば a5=0.99999だと

|a5-1|=|0.99999-1|=|-0.00001|=0.00001

となりεの0.0001より小さくなります。

えっ!?余計わかりずらくなった!?そうですか、ではもっと簡単に述べます。要は(3)は何が言いたいかというと、

「数列{an}の極限が1だということは、1からほんの少ししか離れていない極々小さい範囲に入っていない anは数える程度である」

と言うことです。上の例だと

「1から0.0001より大きく距離が離れている anは a1、a2、a3、a4の4個だけだ」

ということなのです。裏を返すと

「a1

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